Le quadrilatère
définition, types et propriétés à connaître
Carré, rectangle, losange, trapèze : une famille organisée et une méthode simple pour reconnaître chaque figure.
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés, quatre sommets et quatre angles. La somme de ses angles intérieurs vaut toujours 360°. Selon ses côtés et ses angles, il devient parallélogramme, rectangle, losange, carré ou trapèze. Ces figures forment une famille où certaines sont des cas particuliers d’autres.
- Quatre côtés : la définition de base d’un quadrilatère.
- 360° : la somme des angles intérieurs, quelle que soit la forme.
- Une famille : un carré est aussi un rectangle et un losange.
- Une méthode : côtés parallèles et angles droits suffisent à trancher.
Qu’est-ce qu’un quadrilatère
Un quadrilatère est une figure plane fermée délimitée par quatre segments de droite. Il possède donc quatre côtés, quatre sommets et quatre angles. Le mot lui-même le dit : « quadri » pour quatre, « latère » pour côté.
La plupart des quadrilatères que l’on rencontre sont dits convexes : aucun de leurs angles ne rentre vers l’intérieur, et leurs deux diagonales restent à l’intérieur de la figure. Il existe aussi des quadrilatères croisés, dont les côtés se coupent, mais ce sont des cas plus rares. En pratique, on travaille surtout avec les quadrilatères convexes, ceux qui donnent les figures familières comme le carré ou le rectangle.
La famille des quadrilatères
Tous les quadrilatères ne se valent pas : ce sont leurs côtés et leurs angles qui leur donnent un nom précis. Le parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux et de même longueur ; le rectangle ajoute les angles droits ; le losange impose des côtés tous égaux ; le carré réunit les deux conditions. Le trapèze, lui, se tient à part, avec une seule paire de côtés parallèles.
| Figure | Propriété clé | Particularité |
|---|---|---|
| Parallélogramme | Côtés opposés parallèles deux à deux | La base de la famille |
| Rectangle | Quatre angles droits | Un parallélogramme « redressé » |
| Losange | Quatre côtés de même longueur | Un parallélogramme « égalisé » |
| Carré | Angles droits et côtés égaux | Rectangle et losange à la fois |
| Trapèze | Une seule paire de côtés parallèles | Hors de la famille des parallélogrammes |
Une question d’inclusion
pourquoi un carré est aussi un rectangle
C’est le point qui surprend souvent, et pourtant il est logique. Un rectangle se définit comme un parallélogramme à angles droits. Or un carré a bien quatre angles droits : il remplit donc la définition du rectangle. Un carré est ainsi un rectangle particulier, celui dont les côtés sont en plus tous égaux.
Le même raisonnement vaut pour le losange. Le carré a quatre côtés égaux, c’est donc aussi un losange particulier. On peut résumer cet emboîtement : le carré est à la fois un rectangle et un losange, qui sont eux-mêmes des parallélogrammes, lesquels sont des quadrilatères. Comprendre cette logique évite bien des hésitations, car une même figure peut porter plusieurs noms valables à la fois.
Quelle que soit sa forme, un quadrilatère a des angles intérieurs dont la somme vaut 360°. On le vérifie en traçant une diagonale : la figure se découpe en deux triangles, et comme les angles d’un triangle totalisent 180°, deux triangles donnent bien 360°. Cette propriété permet de retrouver un angle manquant quand on connaît les trois autres.
Reconnaître un quadrilatère en quelques questions
Face à une figure à quatre côtés, inutile de réciter des définitions : trois questions enchaînées suffisent à l’identifier.
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Compter les côtés parallèles
Aucune paire parallèle : quadrilatère quelconque. Une seule paire : trapèze. Deux paires : on entre dans la famille des parallélogrammes.
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Regarder les angles
Si les angles sont droits, la figure est un rectangle, ou un carré si les côtés sont aussi égaux. Sinon, on poursuit avec les longueurs.
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Vérifier l’égalité des côtés
Quatre côtés égaux sans angle droit : losange. Quatre côtés égaux et angles droits : carré. Cette grille remplace l’apprentissage par cœur.
Périmètre et aire selon la figure
Le périmètre se calcule toujours de la même manière : on additionne la longueur des quatre côtés. Pour les figures régulières, cela se simplifie, par exemple quatre fois le côté pour un carré.
L’aire, en revanche, dépend de la figure. Pour un carré, c’est le côté multiplié par lui-même. Pour un rectangle, la longueur multipliée par la largeur. Pour un parallélogramme, la base multipliée par la hauteur, en prenant garde que la hauteur n’est pas la longueur du côté incliné. Pour un trapèze, on additionne les deux côtés parallèles, on multiplie par la hauteur et on divise par deux. Identifier la figure, c’est donc déjà savoir quelle formule appliquer.
Quels sont les différents types de quadrilatères ?
Les principaux sont le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré et le trapèze. À cela s’ajoutent le cerf-volant et les quadrilatères quelconques, sans propriété particulière de parallélisme ou d’égalité des côtés.
Un carré est-il un rectangle ?
Oui. Un rectangle est un parallélogramme à quatre angles droits, et un carré possède bien quatre angles droits. Le carré est donc un rectangle particulier, celui dont les quatre côtés sont en plus de même longueur.
Combien font les angles d’un quadrilatère ?
La somme des quatre angles intérieurs d’un quadrilatère vaut toujours 360°, quelle que soit sa forme. On le vérifie en le partageant en deux triangles, chacun totalisant 180°.
Comment reconnaître un parallélogramme ?
Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux et de même longueur. Si en plus les angles sont droits, c’est un rectangle ; si les quatre côtés sont égaux, c’est un losange ; si les deux conditions sont réunies, c’est un carré.
Une fois la logique d’emboîtement comprise, les noms cessent d’être une liste à retenir : ils décrivent simplement ce que la figure a de plus que la précédente. Le reste se lit sur le dessin, à condition de regarder les bons indices.